Испытания авиационной техники при ограниченных сроках их проведения и недостаточном материально-техническом обеспечении
Рассматриваются пути оценки соответствия испытуемых образцов авиатехники тактико-техническим требованиям на основе статистического анализа малых выборок.
Ключевые слова: испытания, авиационная техника, малая выборка, законы распределения, оценка.
Ограничения, налагаемые на процесс испытаний авиационной техники (АТ) дефицитом времени на их проведение и недостаточностью материально-технического обеспечения (отсутствие необходимого количества горюче-смазочных материалов, сокращение выделяемых на испытания финансовых средств, энергоресурсов, различных расходных материалов и т.д.), приводят к значительному сокращению качества испытаний каждого из выделяемых для этого образцов.
Опыт последних лет говорит о том, что число реализаций по каждому виду испытаний не превышает нескольких десятков. В этих же пределах оказывается и число реализаций при проведении войсковых испытаний образцов АТ с целью оценки их эксплуатационных качеств и подтверждения показателей эффективности в условиях максимально приближенных к боевым. Вместе с тем при резком сокращении объема испытаний в значительной мере усложняется процедура оценки их результатов и в максимально возможной степени приходится прибегать к замене натурных экспериментов математическим и полунатурным моделированием процессов боевого применения и эксплуатации АТ.
При малом объеме испытаний оценка боевой эффективности АТ и качества ее в эксплуатации может быть осуществлена лишь на основе статистического анализа малых выборок, т.е. выборок, при обработке которых методами, основанными на группировке наблюдений, характерными для больших выборок, нельзя достигнуть заданных точности и достоверности.
Особенность такого анализа состоит в том, что построение оценок плотностей распределения по выборкам параметров, характеризующих боевую эффективность или эксплуатационные качества поступившего на испытания образца АТ, осуществляется с учетом каждой отдельной реализации этих выборок. Указанные оценки плотностей распределения используются затем для получения численных значений показателей боевой эффективности и эксплуатационных качеств испытуемых образцов АТ, заданных тактико-техническими требованиями на них.
В настоящее время известно несколько методов оценивания плотности распределения случайных величин по выборкам малого объема и, в частности, методы прямоугольных вкладов, уменьшения неопределенности, сжатия области существования интегральных законов распределения, априорно-эмпирических функций и др. Подробные сведения о них, их положительных качествах и недостатках можно найти в [1].
Для большинства этих методов оценка плотности распределения обобщенно выражается линейной суммой априорной и эмпирической компонент:
Увеличить osykoviy012009-001.gif (2кб)
где ƒo(x) – априорная компонента;
р(x-xi) – составляющая эмпирической компоненты, связанная с i-ой реализацией выборки;
αо – вес априорной компоненты;
N – суммарное количество реализаций.
При этом априорная компонента ƒо(х) определяется по результатам всех видов испытаний АТ, проводившихся в условиях завода-изготовителя, полигонов заказчика и на базе эксплуатирующей организации (в процессе войсковых испытаний и эксплуатационной оценки образца АТ).
Для обработки накапливаемых в процессе таких испытаний статистических данных, характеризующих боевую эффективность и эксплуатационные качества опытного образца АТ, наиболее перспективным представляется метод прямоугольных вкладов. При его использовании в качестве априорной информации предполагается знание интервала [xmin, xmax] изменения случайной величины Х, непрерывность оцениваемой функции распределения ƒ(х) на заданном интервале и соблюдение условий:
ƒ(x)≥0 при xmin≤x≤xmax,
ƒ(x)=0 при x<xmin, x>xmax.
Наличие такой априорной информации позволяет построить оценку плотности распределения ƒ*(х) даже при отсутствии реализаций Х.
На начальном этапе испытаний и опытной эксплуатации образца АТ ни одной из возможных реализаций внутри интервала [xmin, xmax] нельзя отдать предпочтение, и поэтому считается, что в пределах данного интервала имеет место равномерное распределение случайной величины Х, т.е.:
Увеличить osykoviy012009-002.gif (3кб)
(1)
В связи с этим при отсутствии статистических данных (x1,…, xN) оценка плотности ƒ*(х) представляется в виде априорной плотности распределения ƒо(х):
ƒ*(х) = ƒо(х). (2)
Появление реализаций случайной величины (выборки) дает возможность уточнить оценку (2). Это осуществляется путем индивидуального подхода к каждой отдельной реализации xi выборки (x1, x2 ,…, xN), при которой ей приписывается элементарная равномерная плотность, или так называемая функция вклада:
Увеличить osykoviy012009-003.gif (2кб)
(3)
, при остальных x,
где d – ширина функции вклада.
Функция вклада задается симметрично относительно точки x=xi на конечном интервале длинной d, что является «размазыванием» информации о случайной величине, полученной от этой реализации.
Линейное суммирование с равными весами априорной плотности (1) и вкладов (3) для всех N элементов выборки (x1, x2,…, xN) приводит в итоге к искомой оценке плотности:
Увеличить osykoviy012009-004.gif (2кб)
где 1/(N+1) – весовой коэффициент, с помощью которого осуществляется нормирование оценки плотности ƒ*(х).
При построении оценки плотности ƒ*(х) по выражению (4) для вкладов, выходящих за одну из границ интервала [xmin, xmax], рекомендуется отбрасывать части, выходящие за эти границы. Над оставшейся частью вклада, лежащей внутри интервала [xmin, xmax] как над основанием, следует равномерно надстраивать прямоугольник, площадь которого равна отброшенной.
При практическом использовании метода прямоугольных вкладов следует помнить, что для каждого объема выборки существует такое оптимальное значение вклада dopt, при котором получается наилучшая оценка закона распределения.
Применительно к наиболее распространенным при оценке боевой эффективности и эксплуатационных качеств образцов АТ законам распределения (нормальному, экспоненциальному и Релея) Березиным О. П., как это указано в работе [1], были найдены и рекомендованы в качестве оптимальных для выборок от 10 до 100 реализаций следующие значения dopt для удобства сведенные в табл.
Используя приведенные в таблице данные, ширину функции вклада можно представить в виде:
d´=Ldopt, (5)
где L – величина интервала [xmin, xmax], выраженная в единицах измерения случайной величины Х.
Увеличить osykoviy012009-005.gif (21кб)
Тогда выражение (3) примет вид:
Увеличить osykoviy012009-006.gif (4кб)
(6)
, при остальных значениях x,
где ƒо(xi) – плотность вероятности предполагаемого теоретического распределения в центре вклада.
Суммируя пересекающиеся вклады, получаем ломаную линию функции суммарного вклада ΨΣ(x).
Значение эмпирической функции плотности распределения вычисляется по формуле:
Увеличить osykoviy012009-007.gif (2кб)
где R – коэффициент значимости априори, вычисляемый из условия попадания случайной величины Х на заданный интервал [xmin, xmax] с вероятностью 0,997.
После определения эмпирической функции плотности распределения по известным формулам теории вероятности вычисляются сглаженные числовые характеристики исследуемой выборки (математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение) и ее интегральная функция.
Практические приемы применения методов прямоугольных вкладов сводятся к следующему:
1. Используя априорное предположение о виде искомой функции распределения и полученные экспериментальные значения случайной величины Х, оценивают область существования функции ƒ(х). Для этого классическими методами статистического анализа вычисляют математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение исследуемой выборки:
Увеличить osykoviy012009-008.gif (3кб)
Длина интервала [xmin, xmax] принимается равной:
- для нормального распределения L = 6σo; xmin = mo - 3σo; xmax = mo + 3σo;
- для экспоненциального закона распределения L= 5,8σo; xmin = 0; xmax = 5,8mo;
- для распределения Релея L= 2,72mo; xmin = 0; xmax = 2,72mo.
2. Исходя из объема полученной выборки определяется оптимальная ширина прямоугольного вклада. При этом для промежуточных значений N величина dopt находится посредства линейного интерполирования.
По формуле (5) в единицах измерения случайной величины вычисляется ширина вклада.
3. По формуле (6) для каждой i-й реализации выборки вычисляется функция вклада. Причем входящие в данную формулу значения функции плотности предполагаемого распределения определяются из выражений:
Для нормального закона:
Увеличить osykoviy012009-009.gif (2кб)
Для экспоненциального закона:
Увеличить osykoviy012009-010.gif (2кб)
Для закона Релея:
где σp – принимается равным 0,8mo.
В процессе вычисления функции вклада при значениях xi , отстоящих от концов интервала [xmin, xmax] на расстоянии меньше d/2, часть вклада выходящая за пределы интервала, отсекается. В этом случае:
Увеличить osykoviy012009-012.gif (2кб)
4. На вспомогательном графике строятся все функции прямоугольных вкладов. Суммируя все пересекающиеся вклады, получаем ломаную линию суммарного вклада ΨΣ(x). На этой линии отыскиваются точки, в которых имеет место скачок функции суммарного вклада и находятся соответствующие данным точкам значения xq (q=1, 2,…,Q).
5. По формуле (7) вычисляется коэффициент значимости априори:
Увеличить osykoviy012009-013.gif (6кб)
(7)
где ƒо(xq) – значение функции плотности предполагаемого теоретического распределения в точке q-го скачка;
ΨΣ(xq) – значение функции суммарного вклада в точке q-го скачка;
∆xq – q-ый интервал между скачками функции суммарного вклада ∆xq = xq+1 – xq;
N – число реализаций в исследуемой выборке;
0,997 – принятая вероятность попадания случайной величины Х на интервал [xmin, xmax].
6. Из выражения (8) находится значение эмпирической функции плотности исследуемой выборки:
Увеличить osykoviy012009-014.gif (2кб)
(8)
7. Вычисляются сглаженные числовые характеристики исследуемой выборки:
- математическое ожидание:
Увеличить osykoviy012009-015.gif (3кб)
- дисперсия:
Увеличить osykoviy012009-016.gif (3кб)
- среднеквадратичное отношение:
σ = √D.
8. Отыскивается значение эмпирической интегральной функции исследуемого массива статистических данных:
Увеличить osykoviy012009-017.gif (5кб)
При практическом использовании описанных методических приемов необходимо уделять особое внимание вопросу априорного выбора вида искомой функции распределения параметров, характеризующих боевую эффективность и эксплуатационные качества испытываемого образца АТ, например, вероятность поражения цели заданного типа, распределение времени его безотказной работы или времени между отказами.
В частности, полезно помнить, что экспоненциальное распределение целесообразно применять для анализа эксплуатационных качеств образцов АТ, состоящих из разнородных элементов и прошедших период приработки, а нормальное – для анализа боевой эффективности и эксплуатационных качеств образцов, у которых имеет место постепенное изменение значений параметров во времени или образцов, для которых доля внезапных отказов весьма мала. Распределение Релея рационально применять при анализе эксплуатационных качеств и боевой эффективности сложных бортовых систем и ЛА в целом, когда происходит их интенсивное старение и снижение точности функционирования их основных комплектующих. Имеется специфика применения и других известных законов распределения. Достаточно полно она, например, отражена применительно к задачам оценки надежности опытных изделий в работе [2].
Для проверки согласия эмпирического и теоретического распределений значений параметров, полученных в процессе испытаний опытных образцов АТ, можно воспользоваться критериями χ² и ω² [3]. Применительно к выборкам небольшого объема, характерным для опытных образцов АТ, критерий ω² является более мощным, чем χ². Если же в выборке оказались несколько наблюдений, равных по величине, то лучше использовать критерий χ².
Исходными данными для проверки согласия эмпирического и теоретического распределений являются: значения наблюдаемых параметров испытываемого образца АТ, например, вероятности захвата цели и ее устойчивого сопровождения в условиях противодействия вероятного противника или наработки данного образца на отказ, x1, x2,…, xn; число этих значений n, уровень значимости α, при котором проводится проверка гипотезы о том, что неизвестная функция распределения генеральной совокупности (к которой принадлежит выборка x1, x2,…,xn) совпадает с заданной функцией распределения F(x); вид функции теоретического распределения F(x).
Проверка проводится при нескольких уровнях значимости, например, при α= 0,1 и 0,05.
Критерий χ² применяют для проверки согласия следующим образом.
Результаты наблюдений x1, x2 ,…, xn располагают в вариационный ряд и определяют максимальное (xmax) и минимальное (xmin) числа в этом ряду. Интервал [xmax, xmin] разбивают на k равных по величине подинтервалов, длительность каждого из которых равна:
∆x=(xmax - xmin) /k,
где k определяют по формуле k = 5lnn.
Подсчитывают количество υi наблюдений, находящихся в каждом из под интервалов (υ1 + υ2 + … + υk = n), и вычисляют частоты попадания наблюдений в каждый подинтервал по формуле:
Pi = υi/n, i = 1, 2, …, k.
Величина Pi служит оценками для неизвестных вероятностей того, что значение наблюдаемого в процессе испытаний параметра окажется в данном подинтервале.
Для каждого подинтервала вычисляют теоретическую вероятность того, что значение наблюдаемого параметра не выходит за пределы соответствующего подинтервала:
Pi = F(i∆x) – F[(i-1)∆x], i = 1, 2,…, k.
С помощью критерия χ² проверяется гипотеза о том, что:
Р01 = Р1, Р02 = Р2, … , Р0k = Pk.
Статистикой является величина η, вычисляемая по формуле:
Увеличить osykoviy012009-018.gif (2кб)
При достаточно большом n статистика η приближенно подчиняется распределению χ² с k-1 степенями свободы.
Вычисляют интеграл:
Увеличить osykoviy012009-019.gif (3кб)
где Г(k/2) – гамма – функция величины k/2.
На основе полученного значения интеграла принимают решение о проверяемой гипотезе. При α/2<P(χ²)ə-α/2 гипотезу принимают и согласие считают удовлетворительным. Если же P(χ²)≥1–α/2 или P(χ²)≤α/2, то гипотезу отвергают.
Статистикой критерия ω² является величина nω²n, вычисляемая по формуле:
Увеличить osykoviy012009-020.gif (2кб)
При достаточно большом n величина nω²n подчиняется распределению, функция которого определяется из выражения:
Увеличить osykoviy012009-021.gif (8кб)
где İ – модифицированная функция Бесселя.
Вычисляют значение nω² и А(х), где в качестве x используют значение nω²n , и принимают решение о проверяемой гипотезе. Если α/2<A(x)ə–α/2, то гипотеза принимается. При A(x)≤α/2 и A(x)≥1–α/2 – отвергается.
Подробные пояснения по блок-схеме, в соответствии с которой реализуется описанный алгоритм проверки согласия эмпирического и теоретического распределений на ЦВМ можно найти в [3].
В заключение следует заметить, что описанные процедуры оценки и анализ малых выборок могут быть реализованы при наличии на рабочем месте инженера-испытателя, высокопроизводительной вычислительной техники. При этом естественно, сокращение объема испытаний (количества испытательных полетов) достигается за счет увеличения объема работ по обработке полученных при испытании результатов.
Литература
1. Гаспаров Д. В., Шаповалов В. И. Малая выборка. М.: Статистика, 1976. 248 с.
2. Войнов К. Н. Прогнозирование надежности механических систем. М.: Машиностроение 1978. 208 с.
3. Автоматизация мелкосерийного машиностроительного производства и качество продукции. М.: Машиностроение, 1983. 280 с.
Tests of aviation technical with limit-time and logistic support
N. M. Osykovy
We consider of conformity assessment test samples of aviation technology-tactics specifications based on statistical analysis of small samples.
Keywords: proving, aeronautical engineering, small sample, distribution laws, assessment.
Literature
1. Gasparov D. V., Shapovalov V. I. A small sample. M.: Statistics, 1976. 248 p.
2. Voynov K. N. Prediction of mechanical systems' reliability. M.: Mechanical engineering, 1978. 208 p.
3. Automation of short-run machine building production and quality of the products. M.: Mechanical engineering, 1983. 280 p.
